segunda-feira, 11 de fevereiro de 2019

The Atomium 2

O monumento Atomium, em Bruxelas, representa uma célula cúbica de corpo centrado (tipo de estrutura cristalina de metais). Inaugurado em 1958, The Atomium é composto por nove esferas, com 18 metros de diâmetro cada, conectadas por vinte tubos. Doze destes são as arestas do cubo, cujo comprimento é de 29 metros cada, e os oito restantes conectam a esfera medial (central) as demais.
Sejam o ponto O o centro da esfera medial, o ponto A o  centro da esfera superior, o ponto C o centro da esfera apoiada sobre a torre localizada no canteiro central da Boulevard du Centenaire e o ponto G o centro da esfera inferior do monumento. Considere ainda que os centros das esferas denominados de pontos A, B, C e D estão dispostos em ordem lexicográfica no sentido horário numa face do cubo oposta a face que contem os pontos E, F, G e H, também centros de esferas e dispostos em ordem lexicográfica no sentido horário.

Sabendo disso, determine:
a) as retas concorrentes no ponto O;
b) as retas paralelas a reta que passa pelos pontos A e B;
c) as retas ortogonais a reta que passa pelos C e G;
d) um par de retas reversas;
e) um plano paralelo ao segmento de reta AH;
f) uma reta perpendicular ao plano que contem os ponto A, G e H.


Sugestão: clique aqui para visitar o monumento no Google Maps e selecione a opção 3D para visualizá-lo de todos os ângulos, obter mais imagens e informações.

sexta-feira, 4 de agosto de 2017

The Arches of the Sydney Harbour Bridge

Concluída em 1932 após quase nove anos de construção, a Harbour Bridge tem 1149 metros de comprimento e vão central de 503 metros (AB) em treliça arqueada. Os arcos do vão central têm a forma aproximada de arcos de parábolas com altura máxima de 134 metros em relação ao nível médio do mar. Em dias quentes a estrutura em aço chega a aumentar em até 18 cm sua altura.
Considerando que as coordenadas dos pontos na figura acima são em metros e sabendo que os pontos A, B, C e G são colineares; os pontos E e F estão no meio da ponte e distam 19 metros; os pontos D e H equidistam de F; e os pontos C e G equidistam de E. Determine:
a) os polinômios interpoladores de Lagrange de grau dois, p e q, que modelam os arcos inferior e superior da ponte, respectivamente;
b) os comprimentos dos arcos superior e inferior da ponte.

REFERÊNCIAS:







sexta-feira, 28 de julho de 2017

The Atomium

O monumento Atomium, em Bruxelas, representa uma célula cúbica de corpo centrado (tipo de estrutura cristalina de metais). Inaugurado em 1958, The Atomium é composto por nove esferas, com 18 metros de diâmetro cada, conectadas por vinte tubos. Doze destes são as arestas do cubo, cujo comprimento é de 29 metros cada, e os oito restantes conectam a esfera medial (central) as demais.
Considere o centro da esfera medial (ponto O) como a origem de um sistema de eixos ortogonais xyz, o eixo Oz passando pelo centro da esfera superior (ponto A) e o eixo Oy é tal que o centro da esfera apoiada sobre a torre localizada no canteiro central da Boulevard du Centenaire (ponto C) tem abscissa zero. Determine:
a) as coordenadas dos centros das nove esferas (pontos O, A, B, C, D, E, F, G, H);
b) as equações vetoriais das retas que passam pelos centros das esferas e são representadas pelos tubos que as unem;
c) os ângulos formados pelas retas que passam pelos centros das esferas que estão sobre as três torres com escadas.
d) as equações gerais dos planos que contêm as faces do cubo ABCDEFGH.

terça-feira, 17 de janeiro de 2017

Atividades Matemáticas no Google Earth: geometria & medidas [livro eletrônico].



Este livro tem como principal objetivo apresentar aos professores atividades matemáticas produzidas no ambiente dinâmico do Google Earth. Essas aliam o uso da tecnologia a resolução de problemas e estabelecem conexões entre a Matemática e diferentes saberes. 
    
Além de uma breve discussão sobre o uso de TIC na educação, este volume propõe 10 atividades sobre um dos temas estruturadores da Matemática no ensino médio Geometria e Medidas.


Clique aqui para baixar o livro grátis ou use o QrCode.

sábado, 26 de setembro de 2015

1 Reconhecendo Formas

Esta atividade visa familiarizar o usuário com algumas funcionalidades do GE e, através de uma viagem pelos cinco continentes, reconhecer conexões existentes entre conceitos matemáticos e formas encontradas ao redor do mundo.
Para tanto, use a ferramenta de pesquisa (Search) a fim de visitar a Catedral de Brasília no Brasil, a Universidade de Aarhus na Dinamarca, a Necrópole de Gizé no Egito, o Centro Aquático Nacional de Pequim na China e a Ponte da Baía de Sydney na Austrália.
Figura 1 – Formas ao redor do mundo
Fonte: Panoramio
Inicialmente, faça um reconhecimento de cada lugar usando os comandos de navegação e as camadas de informações, ativando aquelas cujas informações deseja visualizar, não se esquecendo de ativar a camada Construções em 3D. Em seguida, identifique imagens ou informações existentes em cada parada, fazendo conexões entre essas e conceitos matemáticos. Por fim, crie um marcador em cada lugar e descreva as características das formas encontradas (ver exemplo da Catedral de Brasília no mapa da atividade). Não se esqueça de salvar os arquivos quando encerrar a atividade.
Para adicionar um marcador, clique no ícone correspondente na barra de ferramentas, posicione o marcador no local desejado, escolha um nome e descreva as características do lugar de acordo com as indicações que constam da Figura 2.
Figura 2 – Criando um marcador
Fonte: Panoramio
Abra o guia e o mapa da atividade no GE para obter mais informações.

Arquivos para download: guia, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: jogos olímpicos.

2 Traçando Rotas

Esta atividade visa analisar qual o melhor percurso para se chegar a determinado endereço; reconhecer unidades de medidas de distância; calcular velocidade média em trajetos; bem como familiarizar o usuário com as ferramentas caminho, traçar rotas e passeio.
Com essas ferramentas é possível traçar rotas automaticamente ou desenhar caminhos de forma livre. Esses, quando salvos, podem ser reproduzidos com a ferramenta reproduzir passeio que permite um sobrevoo do percurso traçado. Sabendo disso, trace uma rota de sua casa a outro ponto próximo em seu bairro, clicando em obter rotas e digitando os dois endereços (caso o GE não reconheça os endereços, utilize o Google Maps). Fazendo isso, é possível obter rotas de carro, transporte público, bicicleta, a pé ou mista. Veja o exemplo na Figura 1 que mostra uma rota traçada pelo GE partindo da Lagoa Rodrigo de Feitas e chegando a Copacabana, na cidade do Rio de Janeiro. Note que, neste caso, o GE informa inclusive a linha, horário de funcionamento e freqüência com que passam os ônibus.
Figura 1 – Traçando rotas
Fonte: elaborada pelo autor
            Após traçar a rota, escolha o meio de transporte, anote os valores da distância e do tempo. Use esses dados para calcular a velocidade média do percurso a pé (m/min.) e carro (km/h).
Salve a rota em Meus lugares, analise os resultados da pesquisa e verifique se o trajeto sugerido pelo software é a melhor opção para se chegar ao destino. Depois disso, trace uma rota alternativa usando a ferramenta caminho. Note que, em alguns casos, o GE não traça o menor percurso, devido sentido do trânsito das ruas dentre outros motivos.
Para finalizar a atividade, faça um sobrevoo na rota traçada clicando em reproduzir passeio.

Arquivos para download: guia, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: O uso do Google Earth para o estudo da morfologia urbana da cidade de João Pessoa – PB.

3 Efetuando Medições

Esta atividade tem como objetivo medir ângulos e distâncias, calcular comprimento de circunferências e área de círculos. Para isso, o GE oferece a ferramenta régua com a qual é possível medir o comprimento de um segmento de reta e seu azimute (medida do ângulo horário formado entre a direção norte e um alinhamento dado), neste caso deve ser levado em consideração o sentido do segmento.
A Figura 1 ilustra a utilização da régua para medir o segmento de reta AB, que corresponde à aresta da base da Grande Pirâmide do Egito, cujo comprimento mede 230,27 m e o azimute (título ou direção) mede 90°.
Figura 1 – Medindo ângulo e distância
Fonte: elaborada pelo autor
Com as ferramentas caminho e polígono também é possível medir distâncias, perímetros, bem como estimar a altura de objetos 3D, usando a aba altitude e selecionando as opções relativo ao solo e alongar até o solo é possível alongar verticalmente os objetos criados.
A partir dessas informações, efetue medições com a régua para determinar o menor e o maior percurso circular para dar uma volta completa sobre a passarela em Lujiazui, Xangai, China.
Figura 2 – Passarela em Lujiazui, China
Fonte: Panoramio
Use as medidas para determinar também a área da superfície da passarela (área da coroa circular).

Arquivos para download: guia, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: pirâmides do Egito.

4 Máximos e Mínimos

Esta atividade tem como objetivo analisar perfis de elevações de terrenos, coletar dados, bem como verificar valores de máximo e mínimo com o auxílio da ferramenta caminho.
Para obter informações das elevações de um terreno, trace uma trilha com a ferramenta caminho em uma área rural, clique com o botão direito do mouse sobre o nome do caminho e selecione a opção Mostrar perfil de elevação. Feito isso, aparecerá na parte inferior da janela de visualização um perfil de elevação, ou seja, um gráfico de linha que descreve a forma aproximada do relevo do terreno, como mostra a Figura 1.
Figura 1 – Perfil de elevação
Fonte: GE
O eixo vertical do gráfico mostra as altitudes e o eixo horizontal mostra as distâncias. À medida que o cursor é movido sobre o eixo horizontal do gráfico, a seta se move ao longo caminho e exibe a elevação (à esquerda da seta), a distância acumulada (acima) e a taxa de inclinação (à direita). Além disso, são informadas no gráfico as altitudes mínima, média e máxima do percurso, ganho e perda de elevação, inclinação máxima de subida e descida, inclinação média de subida e descida. Também é possível obter dados de uma parte específica do caminho. Para tanto, segure o botão esquerdo do mouse enquanto move o cursor sobre o trecho desejado. Em seguida, solte o botão para obter os dados da área selecionada.
Uma vez mostrado o perfil obtenha: a inclinação média dos trechos de subida e dos trechos de descida; a inclinação máxima nos trechos de subida e dos trechos de descida; as alturas mínima, média e máxima;o ganho e perda de elevação.
Com esses dados determine: a diferença de nível entre os pontos inicial e final do percurso; os pontos de maior (ponto de máximo) e menor (ponto de mínimo) altitude; a maior e menor altitudes do terreno; ponto com maior valor absoluto de inclinação; e o(s) ponto(s) cuja inclinação é zero.

Arquivos para download: guia, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: trabalhando a trilha ecológica como estratégia de aprendizagem.

5 Calculando Áreas e Proporções

O Brasil se destaca no cenário internacional como um dos gigantes na produção agroindustrial. O agronegócio no país tem uma expressiva participação na economia, representando cerca de 23% do Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro em 2013, segundo o Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada da ESALQ/USP (CEPEA) e a Confederação da Agricultura e Pecuária do Brasil (CNA).
A tendência é de crescimento dessa participação nos próximos anos, devido o aumento da área plantada em todo o país. Pois as estimativas de produção e receita bruta geradas por uma lavoura dependem, além dos fatores climáticos e econômicos, da porção de terra plantada.
Nesse contexto, a agricultura familiar tem sido grande responsável pelo crescimento na produção. De acordo com os dados do último censo agropecuário, realizado pelo IBGE em 2006, esse segmento envolve 4,3 milhões de estabelecimentos rurais, com mais de 12 milhões de pessoas trabalhando, produzindo cerca de 70% dos alimentos que chegam às nossas mesas, 83% da produção nacional de mandioca, 70% do feijão, 33% do arroz e 46% do milho.
Figura 1 - Plantação de Feijão
Fonte: Ministério da Agricultura
Sabendo disto, calcule áreas para estimar a produção total e a receita bruta gerada por uma plantação de feijão na região do Alto Parnaíba, em Minas Gerais.
Resolva esse problema abrindo o mapa da atividade (Calculando Áreas e Proporções.kml) no GE e seguindo as instruções das etapas de 1 a 3.
Etapa 1 – Medindo ângulos e distâncias: faça um croqui da região poligonal ABCDEFG; com o auxílio da ferramenta régua, que fornece azimute e distância, subdivida a região em triângulos ou quadriláteros; e efetue as medições necessárias para o cálculo dessas áreas.
Etapa 2 – Calculando áreas: usando as medidas obtidas na etapa 1 e as fórmulas de áreas do triângulo, trapézio ou paralelogramo, calcule a área de cada subdivisão feita; e calcule a área total da região poligonal ABCDEFG em hectares.
Etapa 3 – Calculando proporções: sabendo que a lavoura de feijão produz cerca de 26 sacas de 60 kg por hectare (26 sc/ha) e que o valor da saca é de 85 reais (cotação em 19 de janeiro de 2015); e calcule a estimativa de produção e receita bruta da safra de feijão.
Utilize a folha do aluno para desenhar o croqui da região poligonal, com as respectivas medidas realizadas, e para fazer as anotações necessárias à resolução das etapas da atividade.
Note que os resultados obtidos são valores aproximados da área, produção e receita bruta. Devido às aproximações feitas no traçado da poligonal ABCDEFG, nas medições e distorções nas imagens do GE. No entanto, como se trata apenas de uma estimativa, esses erros de aproximação são toleráveis.

Arquivos para download: guia, folha do aluno, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: a vida num jardim de horticultura.

6 Copa 2014

A Copa do Mundo de 2014 registrou alguns recordes dentro e fora de campo. A 20ª edição do torneio de futebol mais importante do mundo iguala o maior número de gols registrado no torneio da França em 1998. Fora das arenas, a audiência também teve sua marca batida. A Federação Internacional de Futebol (FIFA) estima que mais de um bilhão de pessoas tenham assistido ao menos parte da final. Outro número notável é de gastos com a construção dos estádios e infraestrutura, segundo o Portal da Transparência do Governo Federal, o valor total contratado até janeiro de 2015 para obras da Copa nas doze cidades-sede foi de R$ 27.096.539.289,54.
Em campo, além do número de gols, outros recordes foram estabelecidos. Destaque para equipe alemã que conquistou o tetracampeonato superando o Brasil em número de gols na história da competição e presença em finais. Destaque também para o colombiano Faryd Mondragón que, aos 43 anos e três dias de idade, jogou contra o Japão na fase de grupos e detém o recorde de jogador mais velho a participar de uma partida de Copa.
Os resultados das partidas também dizem muito sobre o torneio. Para visualizá-los, visite os doze estádios através do mapa da atividade (Copa 2014.kml), colete e analise os resultados dos jogos para determinar o recorde de gols da Copa, a média de gols por partida, a porcentagem de empates, a seleção que sofreu menos gols, bem como a que fez mais gols.
Figura 1 – Estádios da copa
Fonte: adaptada de Portal da Copa
Para solucionar esse problema siga as instruções das etapas de 1 a 4.
Etapa 1– Visita aos estádios: faça um tur pelas cidades-sede; visite os estádios do campeonato mundial; e anote os resultados das partidas na Quadro 1 da folha do aluno (Apêndice B) ou em uma planilha eletrônica.
Etapa 2 – Média de gols: determine o número de gols em cada estádio e o total no mundial; calcule a média de gols por partida em cada estádio; e calcule a média de gols no mundial.
Etapa 3 – Empates: determine o número de empates; e calcule a porcentagem de partidas que terminaram em empate, desconsiderando os resultados das disputas por pênaltis.
Etapa 4 – Destaques da copa: determine a seleção que sofreu menos gols e a que fez mais gols; e calcule a média de gols por partida da seleção campeã.
Faça as anotações necessárias para resoluções das etapas da atividade na folha do aluno (Apêndice B). Use também a calculadora para efetuar os cálculos das médias e poupar tempo.

Arquivos para download: guia, folha do aluno, mapa e solução.
Proposta de atividade interdisciplinar: copa do mundo.
Sugestão: adaptar a atividade para os jogos olímpicos ou campeonato brasileiro de futebol.